Urodził się 19 lutego 1933 r. w Zamościu jako syn Józefa i Stefanii z d. Maluh. Został ochrzczony 19 marca 1933 r. w parafii Zmartwychwstania Pańskiego i św. Tomasza Apostoła w Zamościu. Mając 9 lat, przystąpił do Pierwszej Komunii Świętej w parafii św. Krzyża w Zamościu.

W roku 1952 po zdaniu egzaminu dojrzałości, wstąpił do Wyższego Seminarium Duchownego i rozpoczął studia filozoficzno-teologiczne na Katolickim Uniwersytecie Lubelskim. W podaniu do seminarium pisał: „Uprzejmie proszę o przyjęcie mnie do Seminarium Duchownego w Lublinie. Pragnę być kapłanem i życie swe poświęcić Służbie Bożej”.

Proboszcz parafii św. Krzyża w Zamościu, ks. Marian Giermakowski w świadectwie moralności napisał: „Znam go od roku 1946, kiedy był moim uczniem w szkole podstawowej. Rodzice jego są religijni i zarówno Józef jak i jego rodzeństwo odznaczają się cichością, dobrocią i pobożnością. Znając jego charakter i zdolności dość wybitne, uważam, że jest dobrym kandydatem do kapłaństwa”.

W czasie formacji seminaryjnej przyjął, ówcześnie udzielane, niższe święcenia: ostariatu, lektoratu, egzorcystatu, akolitatu oraz subdiakonatu.

Proboszcz parafii św. Krzyża w Zamościu każdego roku w opinii po wakacjach alumna pisał do rektora seminarium: „Zaświadczam, że Józef Czuk, wychowanek Lubelskiego Seminarium Duchownego w czasie pobytu na wakacjach letnich u rodziców zachowywał się przykładnie. Codziennie uczestniczył we Mszy św. i przystępował do Komunii św. Po południu odbywał adoracje w kościele, często widziałem go jak odmawiał różaniec. Chętnie brał udział w asyście w czasie uroczystości parafialnych, gorliwie je przygotowywał i z całym pietyzmem odbywał. Jest gorliwy o chwałę Bożą. Bardzo często pomagał ks. wikariuszowi w katechizacji dzieci, brał czynny udział w przygotowaniu dzieci do sakramentu bierzmowania. W czasie prowadzenia lekcji wykazywał dużo inwencji w urozmaicaniu lekcji śpiewem, wyszukaniem odpowiednich obrazów. Brał czynny udział w pracach Komitetu Budowy, zbierał ofiary do puszek na budowę kościoła, adresował koperty wysyłane do parafian przez Komitet i wpisywał ofiary do księgi kasowej. W pracach tych był bardzo dokładny i punktualny. Jest trochę nieśmiały, ale głęboko ożywiony duchem modlitwy”.

Święcenia diakonatu otrzymał 22 marca 1958 r. z rąk biskupa Piotra Kałwy w katedrze lubelskiej. Święceń prezbiteratu udzielił mu również bp P. Kałwa 20 kwietnia 1958 r. w katedrze św. Jana Chrzciciela i św. Jana Apostoła w Lublinie.

Pierwszym miejscem posługi ks. Józefa Czuka jako wikariusza była parafia św. Apostołów Piotra i Pawła w Świerżu. Następnie były to parafie: Narodzenia NMP w Chełmie i św. Jozafata BM w Rejowcu.

21 października 1977 r., ks. Józef, został mianowany przez bp. Bolesława Pylaka administratorem parafii w Rejowcu z prawami i obowiązkami proboszcza. Trzy lata później, ks. Józef otrzymał urząd administratora parafii św. Michała Archanioła w Wojsławicach w której posługiwał osiem lat.

W dowód uznania za przykładną i gorliwą pracę kapłańską w dniu 31 maja 1985 r. bp Bolesław Pylak mianował ks. Józefa Czuka kanonikiem honorowym Kapituły Kolegiaty Zamojskiej.

4 lipca 1988 r. bp Pylak mianował ks. Józefa proboszczem parafii św. Apostoła Bartłomieja w Goraju, a bp Jan Śrutwa z dniem 4 sierpnia powierzył mu urząd wicedziekana dekanatu Biłgoraj Południe.

Osiągnąwszy 70. rok życia ks. Józef Czuk poprosił bp. Śrutwę o przyjęcie rezygnacji z urzędu proboszcza parafii Goraj i wicedziekana dekanatu Biłgoraj Północ i przeniesienie w stan emerytalny z zamieszkaniem w domu parafialnym parafii w Goraju. Bp Śrutwa prośbę przyjął i z dniem 26 sierpnia 2002 r. przeniósł ks. Czuka w stan emerytalny z zamieszkaniem na plebanii w Goraju. Ks. Józef w miarę sił dalej pomagał duszpastersko w parafii Goraj oraz wspierał Kościół diecezjalny swymi darami umysłu i serca. Wraz z pogarszającym się zdrowiem z dniem 24 kwietnia 2019 r. zamieszkał w Domu Księży Seniorów w Biłgoraju.

Msza św. żałobna pod przewodnictwem bp. seniora Jana Śrutwy została odprawiona 15 października w kościele parafialnym św. Marii Magdaleny w Biłgoraju.

Mszy św. pogrzebowej przewodniczył bp Marian Rojek, w środę, 16 października w kościele parafialnym Świętego Krzyża w Zamościu.

Po Mszy św. nastąpiło złożenie ciała śp. ks. Józefa Czuka w grobowcu rodzinnym na cmentarzu parafialnym w Zamościu.

Requiescat in pace!